Operações com Frações - 6º ano
Adição, subtração, multiplicação e divisão
Para operarmos frações, devemos saber muito bem os processos de MMC e MDC, pois usamos o MMC para igualar o denominador de duas frações ou mais frações, e o MDC para simplificarmos a fração.
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Fonte: Brasil Escola - Aprendendo Matemática -
Um resumo no caso de soma e subtração com denominadores diferentes:
- Achar o MMC ( Mínimo Múltiplo Comum) dos DENOMINADORES ;
- O denominador da fração nova será o MMC por isso, vai ser necessário você saber o número que multiplicado pelo denominador resulta no MMC, por exemplo no caso de duas frações: 1/4 + 2/3 o MMC de 4 e 3 é 12. Qual o número que multiplicado por 4 ( denominador da 1º fração) resulta em 12? Isso mesmo, 3! (se demorou para pensar, tá precisando recorrer a tabuada). Então multiplicamos o numerador e o denominador da 1° fração por 3, obtendo 3/12. Agora fazemos o mesmo para 2/3: Qual número que multiplicado por 3, resulta em 12? A resposta é 4. Então multiplicamos o numerador e o denominador da nossa segunda fração por 4, obtendo a fração: 8/12. Ou então você pode pegar o MMC e dividir pelo denominador, o RESULTADO, você multiplica pelo denominador e numerador. No exemplo acima, a fração 1/4 pegamos o MMC que é 12, dividimos por 4, ( 12: 4 = 3), multiplicamos o denominador e o numerador por 3, resultando em 3/12. Faça o mesmo para 2/3 e chegará na fração 8/12.
- Agora que temos os denominadores iguais, basta efetuar nossa operação: 3/12+ 8/12= 11/12.
O processo de subtração de fração é o mesmo. Só que no caso subtrai-se. Segue o exemplo abaixo:
- MULTIPLICAÇÃO:
A multiplicação de frações é feita em linha reta: NUMERADOR X NUMERADOR e DENOMINADOR X DENOMINADOR.
- O de cima multiplica pelo de cima e o debaixo pelo debaixo
- A simplificação ocorre de modo a ver quais são os divisores comuns dos números. No exemplo acima usei 2 e 6, e o 7 e 21, mas poderia ter usado 21 e 6, que resultaria em 21:3= 7, 6:3=2.
- REPARE QUE O NÚMERO 3 É UM DIVISOR COMUM DE AMBOS OS NÚMEROS (21 E 3) Dessa forma teríamos: 2/7 * 7/2, cortando os termos iguais, chegaríamos no resultado, que é 1.
- DIVISÃO:
Para a efetuar a divisão da fração, é necessário inverter a ordem da SEGUNDA fração, passando o debaixo para cima, e o de cima para baixo e depois multiplicar.
Equação do 1º Grau com um incógnita - 7º ano
Utilizamos uma equação para calcular o valor de um termo desconhecido que será representado por uma letra, cuja representação mais usual se dá por x, y e z. As equações possuem sinais operatórios como, adição, subtração, multiplicação, divisão, radiciação e igualdade. O sinal de igualdade divide a equação em dois membros, os quais são compostos de elementos constituídos por dois tipos:
Elemento de valor constante: representado por valores numéricos.
Elemento de valor variável: representado pela união de números e letras.
Observe exemplos de equações do 1º grau com uma incógnita:
x + 1 = 6
2x + 7 = 18
4x + 1 = 3x – 9
10x + 60 = 12x + 52
Para resolver uma equação, precisamos conhecer algumas técnicas matemáticas. Vamos, por meio de resoluções comentadas, demonstrar essas técnicas.
Exemplo 1:
4x + 2 = 8 – 2x
Em uma equação, devemos separar os elementos variáveis dos elementos constantes. Para isso, vamos colocar os elementos semelhantes em lados diferentes do sinal de igualdade, invertendo o sinal dos termos que mudarem de lado. Veja:
4x + 2x = 8 – 2
Agora aplicamos as operações indicadas entre os termos semelhantes.
6x = 6
O coeficiente numérico da letra x do 1º membro deve passar para o outro lado, dividindo o elemento pertencente ao 2º membro da equação. Observe:
x = 6 / 6
x = 1
Portanto, o valor de x que satisfaz à equação é igual a 1. A verificação pode ser feita substituindo o valor de x na equação, observe:
4x + 2 = 8 – 2x
4 * 1 + 2 = 8 – 2 * 1
4 + 2 = 8 – 2
6 = 6 → sentença verdadeira
Todas as equações, de uma forma geral, podem ser resolvidas dessa maneira.
Exemplo 2:
10x – 9 = 21 + 2x + 3x
10x – 2x – 3x = 21 + 9
10x – 5x = 30
5x = 30
x = 30/5
x = 6
Verificando:
10x – 9 = 21 + 2x + 3x
10 * 6 – 9 = 21 + 2 * 6 + 3 * 6
60 – 9 = 21 + 12 + 18
51 = 51 → sentença verdadeira
O valor numérico de x que satisfaz à equação é 6.
Exemplo 3:
3x – 2x + 10 = 10 + 5x – 40
3x – 2x – 5x = 10 – 40 – 10
3x – 7x = –40
– 4x = – 40
Nos casos em que a parte da variável se encontra negativa, precisamos multiplicar os membros por –1.
– 4x = – 40 * (–1)
4x = 40
x = 40/4
x = 10
Verificando:
3x – 2x + 10 = 10 + 5x – 40
3 * 10 – 2 * 10 + 10 = 10 + 5 * 10 – 40
30 – 20 + 10 = 10 + 50 – 40
20 = 20 → sentença verdadeira
Exemplo 4:
10 – (8x – 2) = 5x + 2(– 4x + 1) → aplicar a propriedade distributiva da multiplicação
10 – 8x + 2 = 5x – 8x + 2
– 8x – 5x + 8x = + 2 – 10 – 2
– 13x + 8x = – 10
– 5x = – 10 * (–1)
5x = 10
x = 10/5
x = 2
Verificando:
10 – (8x – 2) = 5x + 2(– 4x + 1)
10 – (8 * 2 – 2) = 5 * 2 + 2(– 4 * 2 + 1)
10 – (16 – 2) = 10 + 2(–8 + 1)
10 – (14) = 10 + 2(–7)
10 – 14 = 10 – 14
– 4 = – 4 → sentença verdadeira
Elemento de valor constante: representado por valores numéricos.
Elemento de valor variável: representado pela união de números e letras.
Observe exemplos de equações do 1º grau com uma incógnita:
x + 1 = 6
2x + 7 = 18
4x + 1 = 3x – 9
10x + 60 = 12x + 52
Para resolver uma equação, precisamos conhecer algumas técnicas matemáticas. Vamos, por meio de resoluções comentadas, demonstrar essas técnicas.
Exemplo 1:
4x + 2 = 8 – 2x
Em uma equação, devemos separar os elementos variáveis dos elementos constantes. Para isso, vamos colocar os elementos semelhantes em lados diferentes do sinal de igualdade, invertendo o sinal dos termos que mudarem de lado. Veja:
4x + 2x = 8 – 2
Agora aplicamos as operações indicadas entre os termos semelhantes.
6x = 6
O coeficiente numérico da letra x do 1º membro deve passar para o outro lado, dividindo o elemento pertencente ao 2º membro da equação. Observe:
x = 6 / 6
x = 1
Portanto, o valor de x que satisfaz à equação é igual a 1. A verificação pode ser feita substituindo o valor de x na equação, observe:
4x + 2 = 8 – 2x
4 * 1 + 2 = 8 – 2 * 1
4 + 2 = 8 – 2
6 = 6 → sentença verdadeira
Todas as equações, de uma forma geral, podem ser resolvidas dessa maneira.
Exemplo 2:
10x – 9 = 21 + 2x + 3x
10x – 2x – 3x = 21 + 9
10x – 5x = 30
5x = 30
x = 30/5
x = 6
Verificando:
10x – 9 = 21 + 2x + 3x
10 * 6 – 9 = 21 + 2 * 6 + 3 * 6
60 – 9 = 21 + 12 + 18
51 = 51 → sentença verdadeira
O valor numérico de x que satisfaz à equação é 6.
Exemplo 3:
3x – 2x + 10 = 10 + 5x – 40
3x – 2x – 5x = 10 – 40 – 10
3x – 7x = –40
– 4x = – 40
Nos casos em que a parte da variável se encontra negativa, precisamos multiplicar os membros por –1.
– 4x = – 40 * (–1)
4x = 40
x = 40/4
x = 10
Verificando:
3x – 2x + 10 = 10 + 5x – 40
3 * 10 – 2 * 10 + 10 = 10 + 5 * 10 – 40
30 – 20 + 10 = 10 + 50 – 40
20 = 20 → sentença verdadeira
Exemplo 4:
10 – (8x – 2) = 5x + 2(– 4x + 1) → aplicar a propriedade distributiva da multiplicação
10 – 8x + 2 = 5x – 8x + 2
– 8x – 5x + 8x = + 2 – 10 – 2
– 13x + 8x = – 10
– 5x = – 10 * (–1)
5x = 10
x = 10/5
x = 2
Verificando:
10 – (8x – 2) = 5x + 2(– 4x + 1)
10 – (8 * 2 – 2) = 5 * 2 + 2(– 4 * 2 + 1)
10 – (16 – 2) = 10 + 2(–8 + 1)
10 – (14) = 10 + 2(–7)
10 – 14 = 10 – 14
– 4 = – 4 → sentença verdadeira
Sistemas de equações do 1º Grau - 8º ano
Método da Substituição
Duas equações de 1º grau, com duas incógnitas formam um "sistema de equações". O método da substituição é um dos mais recomendáveis para resolvê-lo.
Imagine uma classe com 36 alunos em que o número de meninos seja 3 vezes maior do que o de meninas.
Em primeiro lugar, é preciso tentar equacionar o problema. Suponha que x seja o número de meninos e que y seja o número de meninas. O total, você já sabe, é 36. Portanto:
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Mas o número de meninos é 3 vezes o das meninas, ou seja:
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Você tem, então, duas equações que formam um sistema:
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Como se sabe o valor de x, é possível substituir esse valor na primeira equação. Veja:
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A primeira equação, então, fica assim:
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Somando-se os termos em y:
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O que eram duas equações e duas incógnitas virou uma só!
Para resolvê-la é só realizar a seguinte operação:
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Com isso, conclui-se que o número de meninas é 9, mas e o número de meninos?
De volta à segunda equação:
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Resposta: Há 27 meninos e 9 meninas nesta classe.
Função do 2º Grau - 9º ano
Toda função estabelecida pela lei de formação f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c números reais e a ≠ 0, é denominada função do 2º grau. Generalizando temos:
As funções do 2º grau possuem diversas aplicações no cotidiano, principalmente em situações relacionadas à Física envolvendo movimento uniformemente variado, lançamento oblíquo, etc.; na Biologia, estudando o processo de fotossíntese das plantas; na Administração e Contabilidade relacionando as funções custo, receita e lucro; e na Engenharia Civil presente nas diversas construções.
A representação geométrica de uma função do 2º grau é dada por uma parábola, que de acordo com o sinal do coeficiente a pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo.
As raízes de uma função do 2º grau são os pontos onde a parábola intercepta o eixo x. Dada a função f(x) = ax² + bx + c, se f(x) = 0, obtemos uma equação do 2º grau, ax² + bx + c = 0, dependendo do valor do discriminante ? (delta), podemos ter as seguintes situações gráficas:
? > 0, a equação possui duas raízes reais e diferentes. A parábola intercepta o eixo x em dois pontos distintos.
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? = 0, a equação possui apenas uma raiz real. A parábola intercepta o eixo x em um único ponto.
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? > 0, a equação possui duas raízes reais e diferentes. A parábola intercepta o eixo x em dois pontos distintos.
? = 0, a equação possui apenas uma raiz real. A parábola intercepta o eixo x em um único ponto.
? < 0, a equação não possui raízes reais. A parábola não intercepta o eixo x.
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Gráfico da função do 2º Grau - 9º ano
A função do 2º grau dada pela expressão matemática y = ax² + bx + c com a ≠ 0, possui como representação gráfica uma parábola com concavidade voltada para cima, quando a > 0; ou concavidade voltada para baixo, quando a < 0.
O gráfico da função do 2º grau é construído no plano de coordenadas cartesianas, atribuindo valores a x e encontrando os valores correspondentes a y. Os números encontrados são denominados pares ordenados (x, y), e ao serem unidos formam a parábola representativa da função do 2º grau.
Veja dois exemplos de construção de gráficos de funções do 2º grau, um com concavidade voltada para cima e outro com concavidade voltada para baixo.
y = x² – 2x (a > 0)
Observe a tabela com os valores de x e y, onde os números de x podem ser escolhidos aleatoriamente, os quais são substituídos um a um na função, encontrando os valores correspondentes a y.
O gráfico da função do 2º grau é construído no plano de coordenadas cartesianas, atribuindo valores a x e encontrando os valores correspondentes a y. Os números encontrados são denominados pares ordenados (x, y), e ao serem unidos formam a parábola representativa da função do 2º grau.
Veja dois exemplos de construção de gráficos de funções do 2º grau, um com concavidade voltada para cima e outro com concavidade voltada para baixo.
y = x² – 2x (a > 0)
Observe a tabela com os valores de x e y, onde os números de x podem ser escolhidos aleatoriamente, os quais são substituídos um a um na função, encontrando os valores correspondentes a y.
Fonte: Brasil Escola - Aprendendo Matemática -
