ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES

Adição

Para adicionarmos duas ou mais matrizes é preciso que todas elas tenham o mesmo número de linhas e de colunas. A soma dessas matrizes irá resultar em outra matriz que também terá o mesmo número de linhas e de colunas.

Os termos deverão ser somados com os seus termos correspondentes.

Concluímos que:

Dada duas matrizes, A e B, as duas de ordem m x n. Então, A + B = C, com

C de ordem m x n ↔ a11 + b11 = c11.

Veja o exemplo abaixo:

Dado a Matriz A=

 

 

Dado a Matriz B=

 

Se efetuarmos a soma dessas matrizes, teremos:

 

Somaremos os termos correspondentes em cada matriz:

Com a soma das duas matrizes obtivemos outra matriz C =

Subtração

Para efetuarmos a subtração de duas matrizes, as matrizes subtraídas devem ter a mesma ordem (mesmo número de linhas e colunas) e a matriz obtida com a subtração (matriz diferença) também deve ter o mesmo número de linhas e colunas que as matrizes subtraídas.

Cada elemento de uma matriz deve ser subtraído com o elemento correspondente da outra matriz.

Concluímos que:

Dada duas matrizes, A e B, as duas de ordem m x n. Então A – B = C de ordem m x n ↔ a11 – a11 = c11

Veja o exemplo abaixo:

Dado a Matriz A=

Dado a Matriz B=

efetuamos a subtração dessas matrizes, temos:


Subtraindo os termos correspondentes das matrizes:

Com a subtração das duas matrizes obtivemos uma matriz C =

Fonte: http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/adicao-subtracao-matrizes.htm

MATRIZES - Introdução

As matrizes são estruturas matemáticas organizadas na forma de tabela com linhas e colunas, utilizadas na organização de dados e informações. Nos assuntos ligados à álgebra, as matrizes são responsáveis pela solução de sistemas lineares. Elas podem ser construídas com m linhas e n colunas, observe:

 
 
, matriz de ordem 3 x 1. (3 linhas e 1 coluna).


 

 
 
 
, matriz de ordem 3 x 2. (3 linhas e 2 colunas)


 

 
 
 
 
, matriz de ordem 4 x 2. (4 linhas e 2 colunas)


 

, matriz de ordem 1 x 4. (1 linha e 4 colunas)


As matrizes com número de linhas e colunas iguais são denominadas matrizes quadradas. Observe:

, matriz quadrada de ordem 2 x 2.


 

 
 
 
, matriz quadrada de ordem 3 x 3.


 

 
 
 
 
, matriz quadrada de ordem 4 x 4.


 

Na matriz abaixo, temos que cada elemento ocupa seu espaço de acordo com a seguinte localização:





 O elemento 2 está na 1ª linha e 1ª coluna.

O elemento 5 está na 1ª linha e 2ª coluna.
O elemento 7 está na 2ª linha e 1ª coluna.
O elemento –9 está na 2ª linha e 2ª coluna.

Portanto, temos:


aij, onde i = linhas e j = colunas.

a11 = 2
a12 = 5
a21 = 7
a 22 = –9

Podemos construir uma matriz de acordo com uma lei de formação baseada em situações variadas. Por exemplo, vamos construir uma matriz de ordem 3 x 3, seguindo a orientação aij = 3i + 2j.

Vamos escrever a matriz B dada por (aij) 4x4, de modo que i + j, se i = j e i – j, se i ≠ j.

 
 
 
 
 
Fonte: http://www.brasilescola.com.br/

HIDROCARBONETOS - Continuação

ALCINOS

Nomenclatura dos alcinos

Os alcinos são hidrocarbonetos insaturados com uma ou mais ligações triplas carbono – carbono (C º C). O alcino mais simples, o etino, tem a fórmula molecular C2H2 e fórmula racional CH º CH, segue-se o propino (C3H4), o butino (C4H6), ...

A fórmula geral dos alcinos que só contêm uma ligação tripla por molécula é: CnH2n-2, em que n é um número inteiro ³ 2.

As regras de nomenclatura são idênticas às apresentadas para os alcanos e alcenos, com a particularidade da cadeia escolhida para principal ter de conter as ligações triplas.

1ª O nome é formado pelo prefixo indicativo do número de átomos de carbono da cadeia principal, acrescido da terminação ino.

2ª Os átomos de carbono são numerados sequencialmente, começando essa numeração pela extremidade mais próxima da(s) ligação(ões) tripla(s). A posição do primeiro átomo da ligação tripla é colocada imediatamente antes do nome do alcino e separada dele por um hífen.

3ª Se houver mais do que uma ligação tripla na cadeia carbonada as suas posições são indicadas pelos respectivos números, separados por vírgulas. O nome do hidrocarboneto deverá ainda indicar se se trata de um diino, caso existam duas triplas ligações, de um triino, se existirem três triplas ligações, ou outro.

Nota:

Para os hidrocarbonetos insaturados em que existam ligações duplas e triplas na mesma cadeia carbonada, a numeração dos átomos de carbono é comandada pela ligação dupla, que toma prioridade.

Fonte: http://www.prof2000.pt/

HIDROCARBONETOS

ALCANOS

Os alcanos apresentam simples ligações entre átomos de carbono e cadeia aberta.

São também chamados de hidrocarbonetos parafínicos ou parafinas, esse termo vem do latim: parum = pequena + affinis = afinidadade, que explica porque os alcanos são pouco reativos. Como são compostos constituídos exclusivamente por carbono e hidrogênio, formam uma série homóloga de fórmula geral

CnH2n +2, o primeiro membro é o metano (CH4).

A estrutura física dos alcanos é de cadeia carbônica acíclica (alifática), saturada e homogênea, ou seja, cadeia aberta que apresenta simples ligação entre átomos de carbono.

Nomenclatura

Para dar nome às cadeias carbônicas de alcanos ramificados, utilizamos as seguintes regras:

- determinar a maior cadeia possível de carbonos;
- determinar os radicais ligados à cadeia principal;
- a numeração da cadeia principal se dá para que a ramificação possua os menores números possíveis;
- os radicais são colocados em função da sua ordem alfabética;
- os prefixos di, tri,tetra, sec, terc não são considerados para efeito de ordem alfabética exceto ISO.

Exemplos:

2-etil-4,4-dimetil-pentano


ALCENOS

Os alcenos possuem uma dupla ligação entre dois átomos de carbono, ou seja, são insaturados. Eles também são chamados de hidrocarbonetos etilênicos ou olefinas, são constituídos por carbono e hidrogênio, sua fórmula geral é CnH2n , o primeiro membro desta série de compostos é o eteno (C2H4), sua estrutura é de cadeia carbônica acíclica (alifática).

O mais simples dos alcenos é o eteno (ou etileno), esse se apresenta como um gás incolor e insolúvel na água. Quando em reação com cloro ou bromo, esse gás tem a propriedade de formar líquidos oleosos, por isso recebeu o nome de gás oléfiant (gás gerador de óleo). Daí a denominação olefinas, que é empregada para todos os alcenos.

Os alcenos se apresentam na natureza e em temperatura ambiente da seguinte forma:

• Cadeia normal de dois a quatro carbonos: gases;

• Cinco a dezesseis carbonos: líquidos;

• Dezessete carbonos em diante: sólidos.

Ao contrário dos alcanos, os alcenos são muito raros na natureza. Os gasosos constituem pequena quantidade dos gases naturais e do petróleo, como é o caso do eteno que é obtido industrialmente através do cracking de petróleo. O termo cracking é originado do inglês (to crack = quebrar), tem esse nome porque corresponde a um processo de quebra de moléculas grandes de alcanos através de catalisadores, o que dá origem a moléculas menores de alcanos e alcenos.

O eteno costuma ser utilizado como anestésico em intervenções cirúrgicas e no amadurecimento forçado de frutas verdes (essas tomam a cor natural das frutas maduras quando em contato com o gás) e ainda na preparação de polietileno, que é um dos plásticos mais importantes na indústria, usado na confecção de sacos e garrafas plásticas, brinquedos, etc. Borracha sintética, corantes, tecidos sintéticos e, até mesmo, explosivos são obtidos através de alcenos.

Nomenclatura

Para nomear os alcenos, utilizamos a nomenclatura parecida com a dos alcanos. Quanto ao número de carbonos é a mesma (met, et, prop, but...). Quanto ao tipo de ligação, usamos en, porém, deve-se indicar o local da ligação dupla.

Para nomear, dá-se a prioridade à ligação dupla na contagem de carbonos e depois, aos radicais.

Veja os exemplos:

1) CH2=CH – CH2 – CH3

Nomenclatura antiga: 1- buteno
Nomenclatura IUPAC: but-1-eno

2) CH3 – CH = CH – CH3

Nomenclatura antiga: 2-buteno
Nomenclatura IUPAC: but-2-eno

Para os alcenos ramificados, a cadeia principal (mais longa) é aquela que contém a ligação dupla. A contagem de carbonos é feita a partir da extremidade mais próxima da ligação dupla.

Veja os exemplos:

Nomenclatura antiga: 5-metil-2-hexeno
Nomenclatura IUPAC: 5-metil-hex-2-eno

Nomenclatura antiga: 3-propil-1-hepteno
Nomenclatura IUPAC: 3-propil-hept-1-eno

Obs:

* Se houver mais do que uma ligação dupla na cadeia carbonada as suas posições são indicadas pelos respectivos números, separados por vírgulas. O nome do hidrocarboneto deverá ainda indicar se se trata de um dieno, caso existam duas duplas ligações, de um trieno, se existirem três duplas ligações, ou outro.

CALORIMETRIA

Turma do 2º ano de Física - Resumo de Calorimetria

Calor

Considere dois corpos, A e B, que possuem temperaturas diferentes e estão em contato térmico, como ilustra a figura abaixo:

Após algum tempo, observamos que esses dois corpos encontram-se com a mesma temperatura. O que estava com maior temperatura esfriou e o que estava com menor temperatura esquentou. Quando isso ocorre, dizemos que os corpos estão em equilíbrio térmico e a temperatura final é chamada de temperatura de equilíbrio.Isso acontece porque o corpo de maior temperatura fornece certa quantidade de energia térmica para o outro de menor temperatura. Essa energia térmica quando está em transito de um corpo para outro é denominada calor.

Capacidade térmica e calor específico sensível

Os corpos e as substâncias na natureza reagem de maneiras diferentes quando recebem ou cedem determinadas quantidades de calor. Alguns esquentam mais rápido que os outros. Podemos exemplificar isso com a seguinte situação: você está com fome e pretende fazer um macarrão instantâneo.Para isso, primeiramente, irá aquecer certa quantidade de água. Uma atitude inteligente a ser tomada é colocar exatamente a quantidade de água necessária para isso, pois se você colocar a água em demasia, irá demorar mais tempo para ela chegar à temperatura desejada, além do fato de que o macarrão irá parecer mais uma sopa. Mas, independentemente do resultado final da atividade culinária, o importante para nós é observar que quanto mais água houver na panela, maior será a quantidade de calor necessária para se atingir a temperatura desejada e por isso ela terá uma capacidade térmica maior.Podemos, então, concluir que a capacidade térmica depende diretamente da massa do corpo e, portanto, pode ser calculada da seguinte forma:

C= c.m
Onde c é o calor específico sensível da substância de que o corpo é constituído. O calor específico pode ser definido como a capacidade térmica por unidade de massa e é uma característica da substância de que o material é feito.

Calor sensível

Como vimos, uma das conseqüências das trocas de calor, é a variação de temperatura do corpo. Se receber calor, esse corpo poderá sofrer um aumento de temperatura e, se ceder calor, uma possível queda de temperatura. É possível calcular a quantidade de calor trocado pelos corpos através da seguinte equação matemática:Essa equação é conhecida como a equação fundamental da calorimetria e mostra que o calor sensível depende da massa (m), do calor específico (c) e da variação de temperatura do corpo ( ).

Agora é resolver seus exercícios e começar a estudar!

Bons estudos!